Chapter 15 Moving Average Filters

O cientista e engenheiros guia para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Como o nome indica, o filtro de média móvel opera fazendo a média de um número de pontos a partir do sinal de entrada para produzir cada ponto no sinal de saída. Na forma de equação, isto é escrito: Onde está o sinal de entrada, é o sinal de saída, e M é o número de pontos na média. Por exemplo, num filtro de média móvel de 5 pontos, o ponto 80 no sinal de saída é dado por: Como alternativa, o grupo de pontos do sinal de entrada pode ser escolhido simetricamente em torno do ponto de saída: Isto corresponde à alteração da soma em Eq . 15-1 de: j 0 a M -1, para: j - (M -1) / 2 a (M -1) / 2. Por exemplo, em um filtro de média móvel de 10 pontos, o índice, j. Pode variar de 0 a 11 (média de um lado) ou -5 a 5 (média simétrica). A média simétrica requer que M seja um número ímpar. A programação é ligeiramente mais fácil com os pontos de apenas um lado no entanto, isso produz uma mudança relativa entre os sinais de entrada e saída. Você deve reconhecer que o filtro de média móvel é uma convolução usando um kernel de filtro muito simples. Por exemplo, um filtro de 5 pontos tem o kernel do filtro: 82300, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0, 08230. Ou seja, o filtro de média móvel é uma convolução Do sinal de entrada com um impulso retangular com uma área de um. A Tabela 15-1 mostra um programa para implementar o filtro de média móvel. De vez em quando, eu uso uma média móvel para dados de filtro passa-baixa. Um filtro de média móvel é muito simples e fácil de implementar em tempo real. Se você decidir média cinco pontos de dados em conjunto (M 5), então os dados filtrados são calculados por yi (xi-2 xi-1 xi xi1 xi2) / 5. Você pode até mesmo implementar isso recursivamente para que cada cálculo subseqüente só exija dois Por exemplo (supondo M 5), se seu primeiro cálculo for y3 (x1 x2 x3 x4 x5) / 5, então o próximo cálculo é simplesmente y4 y3 8211 x1 x6. O que eu não sabia até recentemente é como calcular a resposta de freqüência de filtros de média móvel. A resposta de freqüência, Hf, pode ser calculada por sin (pifM) / (M sen (pif)), onde M é o comprimento da média móvel e f varia de 0 a 0,5 (com 0,5 representando metade da freqüência da amostra). Abaixo está um gráfico das respostas de freqüência para comprimentos de 4, 8 e 16 (com uma freqüência de amostra de 500 Hz). Observe que os filtros têm bandas de transição agradáveis ​​e suaves (o início das curvas de uma amplitude de 1 a 0) e bandas de parada horríveis (as ondulações repetidas). Isso faz com que a média móvel seja um filtro de suavização excepcionalmente bom (a ação no domínio do tempo), mas um filtro passa-baixa excepcionalmente ruim (a ação no domínio da freqüência) 8221 (The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Capítulo 15) . Abaixo estão exemplos de como os filtros de média móvel removem o ruído aleatório de um pulso retangular. Você pode ver o pulso retangular é mantido relativamente íngreme pela faixa de transição gradual ao remover o ruído. Se você quiser remover o ruído 60 Hz, então um comprimento de 8 vai funcionar bem (a linha verde no primeiro gráfico). Você pode melhorar a banda de parada, na cara de uma banda de transição mais íngreme, aplicando o filtro várias vezes. Abaixo está um gráfico da resposta de freqüência de uma média móvel de comprimento 8 após ter sido filtrada uma, duas ou quatro vezes. Estes foram calculados multiplicando a função de resposta em frequência por si para cada passagem (Hf Hf de dupla passagem). Se você quiser remover o ruído de 60 Hz com um filtro de passagem dupla, então você pode usar um comprimento de 7 em vez de 8 com um filtro de passagem única. CH15 - CAPÍTULO 15 Moving Average Filters A média móvel. 277 CAPÍTULO 15 EQUAÇÃO 15-1 Equação do filtro da média móvel. Nesta equação, é o sinal de entrada, é x y o sinal de saída, e M é o número de pontos usados ​​na média móvel. Esta equação só utiliza pontos de um lado da amostra de saída a ser calculada. Yi rsquo 1 M j M 1 j rsquo 0 xijy 80 rsquo x 80 x 81 x 82 x 83 x 84 5 Filtros de média móvel A média móvel é o filtro mais comum no DSP, principalmente porque é o filtro digital mais fácil de entender e usar . Apesar da sua simplicidade, o filtro de média móvel é ideal para uma tarefa comum: reduzir o ruído aleatório ao mesmo tempo que mantém uma resposta de passo nítida. Isto torna o primeiro filtro para sinais codificados no domínio do tempo. No entanto, a média móvel é o pior filtro para sinais codificados no domínio da frequência, com pouca capacidade de separar uma banda de frequências de outra. Os parentes do filtro de média móvel incluem a média móvel Gaussiana, Blackman e de passagem múltipla. Estes têm um desempenho ligeiramente melhor no domínio da frequência, à custa do aumento do tempo de computação. Implementação por Convolução Como o nome indica, o filtro de média móvel opera fazendo a média de um número de pontos do sinal de entrada para produzir cada ponto no sinal de saída. Na forma de equação, isto é escrito: Onde está o sinal de entrada, é o sinal de saída, e M é o número x y de pontos na média. Por exemplo, em um filtro de média móvel de 5 pontos, o ponto 80 no sinal de saída é dado por: Esta visualização tem seções intencionalmente desfocadas. Inscreva-se para ver a versão completa. O Cientista e os Engenheiros Guia para Processamento de Sinal Digital 278 y 80 rsquo x 78 x 79 x 80 x 81 x 82 5 100 MOVIMENTO FILTRO MÉDIO 110 Este programa filtra 5000 amostras com um 101 ponto movendo 120 filtro médio, resultando em 4900 amostras de dados filtrados . 130 140 DIM X4999 X detém o sinal de entrada 150 DIM Y4999 Y detém o sinal de saída 160 170 GOSUB XXXX Subrutina mítica para carregar X 180 190 FOR I 50 TO 4949 Loop para cada ponto no sinal de saída 200 YI 0 Zero, Usado como um acumulador 210 PARA J -50 A 50 Calcular a soma 220 YI YI X (IJ 230 PRÓXIMO J 240 YI YI / 101 Completar a média dividindo 250 PRÓXIMO I 260 270 TABELA FINAL 15-1 Como alternativa, o grupo de Os pontos do sinal de entrada podem ser escolhidos simetricamente em torno do ponto de saída: Isto corresponde à alteração da soma na Eq. 15-1 de. j rsquo 0 a M 1 até P. Por exemplo, numa média móvel de 10 pontos j (M 1) / 2 para o filtro (M 1) / 2, o índice j pode variar de 0 a 11 (média de um lado) ou -5 a 5 (média simétrica). A média simétrica requer que M seja um número ímpar. Mais fácil com os pontos de apenas um lado no entanto, isso produz uma mudança relativa entre os sinais de entrada e saída. Você deve reconhecer que o filtro de média móvel é uma convolução usando um kernel de filtro muito simples. Por exemplo, um filtro de 5 pontos tem o kernel do filtro. Isto é, o filtro de média móvel é uma convolução 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0, 0 do sinal de entrada com um impulso rectangular com uma área de um . A Tabela 15-1 mostra um programa para implementar o filtro de média móvel. Este é o fim da pré-visualização. Inscreva-se para acessar o resto do documento. Um exemplo de é mostrado em 14 5 a figura a mostra um baixo Um exemplo de é mostrado em 14-5. A Figura (a) mostra um kernel de filtro passa-baixa chamado de windowed-sinc (o tópico do Capítulo 16). Este kernel de filtro tem 51 pontos de comprimento, embora muitas das amostras tenham um valor tão pequeno que parecem ser zero neste gráfico. O correspondente Esta visualização tem intencionalmente desfocada seções. Inscreva-se para ver a versão completa. O guia do cientista e dos engenheiros para o processamento de sinais digitais 272 xn yn n - hn xn yn hn n passa-baixa passa-alta passa-alta b. Passagem alta em uma única etapa a. Passo alto por adição de estágios paralelos FIGURA 14-6 Diagrama de blocos de inversão espectral. Em (a), o sinal de entrada. É aplicado a dois sistemas x n em paralelo, tendo respostas de impulso de e. Como mostrado em h n n (b), o sistema combinado tem uma resposta de impulso de. Isto significa que n amp h n a resposta de freqüência do sistema combinado é a inversão da resposta de freqüência de. H n resposta de freqüência é mostrada em (b), encontrada adicionando 13 zeros ao kernel do filtro e tomando um FFT de 64 pontos. Duas coisas devem ser feitas para mudar o kernel do filtro passa-baixo em um kernel de filtro passa-alto. Primeiro, altere o sinal de cada amostra no kernel do filtro. Em segundo lugar, adicione um para a amostra no centro de simetria. Isto resulta no kernel do filtro passa-alto mostrado em (c), com a resposta de frequência mostrada em (d). Inversão espectral inverte a resposta de freqüência de cima para baixo. Mudando as bandas passantes em bandas de parada e as bandas de parada em bandas passantes. Em outras palavras, ele altera um filtro de low-pass para high-pass, high-pass para low-pass, band-pass para band-reject ou band-reject para band-pass. A Figura 14-6 mostra por que essa modificação em dois estágios no domínio do tempo resulta em um espectro de freqüência invertido. Em (a), o sinal de entrada. É aplicado a x n dois sistemas em paralelo. Um desses sistemas é um filtro passa-baixa, com uma resposta ao impulso dada por. O outro sistema não faz nada para o sinal, h n e, portanto, tem uma resposta de impulso que é uma função delta, a saída n geral. É igual à saída do sistema all-pass menos a saída y n do sistema passa-baixa. Uma vez que os componentes de baixa frequência são subtraídos do sinal original, apenas os componentes de alta frequência aparecem na saída. Assim, é formado um filtro passa-alta. Isso pode ser realizado como uma operação em duas etapas em um programa de computador: executar o sinal através de um filtro passa-baixa e, em seguida, subtrair o sinal filtrado a partir do original. No entanto, toda a operação pode ser realizada numa fase de sinal combinando os dois núcleos de filtro. Conforme descrito no Capítulo Capítulo 14 - Introdução aos Filtros Digitais 273 Número de Amostra 0 10 20 30 40 50 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 a. Núcleo do filtro original Frequência 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 b. Resposta de frequência original FIGURA 14-7 Exemplo de inversão espectral. O kernel do filtro passa-baixo em (a) tem a resposta em frequência mostrada em (b). Um kernel de filtro passa-alta, (c), é formado pela alteração do sinal de todas as outras amostras em (a). Essa ação no domínio do tempo resulta no domínio de freqüência sendo invertido para a esquerda para a direita. Resultando na resposta de freqüência de passa-alta mostrada em (d). Esta pré-visualização apresenta secções intencionalmente desfocadas. Inscreva-se para ver a versão completa. Parte I. Filtro Recursivo Capítulo 1. Filtro médio 1.1 Expressão recursiva para a média 1.2 Função média do filtro 1.3 Exemplo: Medição da tensão 1.4 Sumário Capítulo 2. Filtro médio móvel 2.1 Preço da ação e média móvel 2.2 Expressão recursiva da média móvel 2.3 Função do filtro médio móvel 2.4 Exemplo: Sonar 2.5 Resumo Capítulo 3. Filtro passa-baixa 3.1 Limitação da média móvel 3.2 Filtro passa-baixo de ordem 1 3.3 Função de filtro passa-baixa 3.4 Exemplo: Sonar 3.5 Resumo Capítulo 4. Resumo da Parte I Parte II. Teoria do Filtro de Kalman Capítulo 5. Introdução ao Filtro de Kalman 5.1 Introdução 5.2 Algoritmo do filtro de Kalman Capítulo 6. Processo de Estimação 6.1 Introdução 6.2 Computação de uma estimativa 6.3 Peso Variável 6.4 Covariância do Erro 6.5 Sumário Capítulo 7. Processo de Previsão 7.1 Computação de uma predição 7.2 Diferença entre Previsão e estimativa 7.3 Reinterpretação da expressão para calcular uma estimativa Capítulo 8. Modelo do sistema 8.1 Introdução 8.2 Modelo do sistema 8.3 Covariância do ruído Capítulo 9. Resumo da Parte II Capítulo 10. Extremamente Simples Exemplo 10.1 Modelo do sistema 10.2 Função do filtro Kalman 10.3 Programa do teste 10.4 Covariância de erro e ganho de Kalman 10.5 Sumário Capítulo 11. Estimativa da velocidade da posição 11.1 Modelo do sistema 11.2 Função do filtro de Kalman 11.3 Resultado da estimativa 11.4 Estimativa da posição com velocidade 11.5 Medição da velocidade com sonar 11.6 Função eficiente do filtro de Kalman 11.7 Potência do modelo do sistema Capítulo 12. Rastreamento de um objeto em uma imagem 12.1 Modelo de sistema 12.2 Função de filtro de Kalman 12.3 Programa de teste 12.4 Programa de teste 2 Capítulo 13. Sistema de referência de atitude 13.1 Introdução 13.2 Determinação de atitude com giroscópios 13.3 Determinação de atitudes com acelerômetros 13.4 Determinação de atitudes por fusão de sensores 13.4.1 Modelo de sistema 13.4 .2 Filtro Kalman para fusão de sensores Parte IV. Filtro não-linear de Kalman Capítulo 14. Filtro de Kalman estendido 14.1 Introdução 14.2 Filtro de Kalman linear 14.3 Filtro de Kalman estendido 14.3.1 Modelo de sistema não-linear 14.3.2 Algoritmo de filtro de Kalman estendido 14.4 Exemplo 1: Rastreamento de radar 14.4.1 Modelo de sistema 14.4.2 Função de filtro de Kalman estendida 14.4.3 Programa de teste 14.5 Exemplo 2: Sistema de referência de atitude 14.5.1 Modelo de sistema 14.5.2 Função de filtro de Kalman estendida 14.5.3 Programa de teste 14.6 Resumo Capítulo 15. Filtro de Kalman sem perfume 15.1 Introdução 15.2 Transformação sem perfume 15.2.1 Introdução 15.2.2 Sem perfume Transformação 15.2.3 Função de transformação sem perfume 15.3 Filtro de Kalman sem perfume 15.3.1 Modelo de sistema não linear 15.3.2 Comparação com um filtro de Kalman estendido 15.3.3 Algoritmo de filtro de Kalman sem cheiro 15.4 Exemplo 1: Rastreamento de radar 15.4.1 Modelo de sistema 15.4.2 Kalman sem perfume Filtro 15.4.3 Programa de teste 15.5 Exemplo 2: Sistema de referência de atitude 15.5.1 Modelo de sistema 15.5.2 Função de filtro de Kalman não avaliado 15.5.3 Programa de teste 15.6 Sumário Parte V. Análise de Freqüência e Filtro Capítulo 16. Filtro passa-alta 16.1 Introdução 16.2 Transformação e filtro de Laplace 16.3 Filtro passa-alta 16.4 Função de filtro passa-alto 16.5 Exemplo: Sonar 16.6 Conclusão Capítulo 17. Filtro complementar 17.1 Introdução 17.2 Conceito de filtro complementar 17.3 Exemplo: Sistema de referência de atitude 17.3.1 Filtro complementar 17.3.2 Função de filtro complementar 17.3.3 Programa de teste 17.4 Outro exemplo de um filtro complementar